12. Méthode des éléments finis
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12.10 Méthode de Rayleigh-Ritz
Parmi les méthodes variationnelles, la méthode de Rayleigh-Ritz est la
plus courante. Dans cette méthode, on considère l’expression
M(y)=
1
2
d(y> y)
Z
iyg{
et sa forme intégrée qui s’écrit
N(x)=
Z
M({> x> x
0 >===>x
(q) )g{
où x
0
désigne la dérivée en {.L af o n c t i o nM vérifie l’équation d’Euler
CM
Cx
g
g{
µ CM
Cx 0
¶
+
g
2
g{ 2
µ CM
Cx”
¶
+ === +(1)
q1 g
q1
g{ q1
µ CM
Cx (q)
¶
=0
En choisissant un sous-espace de Y de dimension p, et une base de fonctions
Q 1 >Q 2 > ===> Q p ,l af o n c t i o nx s’écrit
x({)=
p
X
m=1
x m Q m ({)
où les quantités x m sont inconnues. La méthode de Ritz consiste à déterminer les quantités (x 1 >x 2 >===>x p )d es o r t eq u eN(x 1 >===>x p ) soit extrémale,
ce qui impose les p conditions suivantes
CN(x 1 >===>x p )
Cx m
=0
Exemple. Considérons le système
½
x
00 ({)={
2
sur [0> 1]
x(0) = x(1) = 0
Le calcul des variations conduit à la fonctionnelle
M({> x> x
0 )=
1
2
(x
0 )
2 {
2 x
L’équation d’Euler traduit l’équation de départ. La méthode de RayleighRitz cherche à minimiser l’intégrale
Z 1
0
C
Cx m
µ 1
2
(x
0 )
2 i ({)x
¶
g{ =0
En décomposant x sur une base de fonctions de forme, le problème revient
àr é s o u d r e
p
X
m=1
µZ 1
0
Q
0
m Q
0
m g{=x m
Z 1
0
i ({)Q m g{
¶
=0