12. Méthode des éléments finis
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conduit à la valeur x 1 =2@9. La solution du problème est donc approchée
par la fonction
x({)=2{(1 {)@9
Si on choisit deux points, il faudra considérer des fonctions
x({)=x 1 Q 1 ({)+x 2 Q 2 ({)
avec par exemple comme fonctions de forme Q 1 ({)={(1 {) et Q 2 ({)=
{
2 (1 {).L af o n c t i o nx({) vérifie les conditions initiales. En choisissant
deux points, par exemple, { 1 =1 @3 et { 2 =2 @3, les conditions U(1@3) =
U(2@3) conduisent à déterminer les deux valeurs x 1 et x 2 .
La méthode des moindres carrés est une méthode dans laquelle on cherche
à minimiser la moyenne quadratique
L(y)=
Z
(Ly i )
2 g{ =
Z
U(y({))
2 g{
Elle consiste à prendre comme fonctions tests
y m =
CU
Cx m
En notant L
l’opérateur adjoint et en développant,
L(y)=
Z
(L
Ly) yg { 2
Z
(L
i ) yg {+
Z
i
2 g{
La minimisation conduit à résoudre le système
L
Ly = L
i
Exemple. Considérons le même problème que précédemment
½
x
00 ({) x = { sur [0> 1]
x(0) = x(1) = 0
Si on choisit un seul point (p =1)etlafonctiondeformeQ 1 ({)={(1{),
les solutions approchées s’écrivent
x({)=x 1 Q 1 ({)=x 1 {(1 {)
Le coe!cient x 1 est inconnu. La fonction x({) vérifie les conditions aux
limites x(0) = x(1) = 0.L er é s i d uv a u t
U({)=x
00 ({) x({)+{ = { + x 1 ({
2 { 2)
Les fonctions de tests sont les dérivées partielles du résidu relativement aux
coe!cients x l
y 1 ({)=
CU({)
Cx 1
= {
2 { 2