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Méthodes des résidus pondérés
de test y 5 Y telle que le poids moyen du résidu soit nul, c’est-à-dire telle
que
Z
U(x({))=y({) g{ =0
On détermine ainsi les valeurs des coe!cients x l , si on se fixe un ensemble
de fonctions tests. Selon le choix de ces fonctions, on distingue plusieurs
méthodes de résidus pondérés.
Dans la méthode de collocation par sous-domaines, l’espace est divisé en
p sous-domaines deux à deux disjoints m = Sur chaque sous-domaine, la
fonction test est choisie comme la fonction indicatrice de ce sous-domaine
y m =1
m
fonction valant 1 si { 5 m et 0 sinon. La nullité du résidu conduit à
résoudre l’équation
Z

m
(Ly i )g{
Dans la métho dedec ollo c ationp arp oints,lesp sous-domaines se réduisent
à p points. Les fonctions tests sont de la forme
y m ({)=({ { m )
La di!culté est alors de choisir ces points de sorte qu’ils respectent les
symétries du problème.
Exemple. Considérons l’équation
½
x
00 ({) x = { sur [0> 1]
x(0) = x(1) = 0
Si on choisit un seul point (p =1)etlafonctiondeformeQ 1 ({)={(1{),
les solutions approchées sont de la forme
x({)=x 1 Q 1 ({)=x 1 {(1 {)
Le coe!cient x 1 est inconnu. La fonction x({) vérifie les conditions aux
limites x(0) = x(1) = 0.L er é s i d ue s t
U({)=x
00 ({) x({)+{ = { + x 1 ({
2 { 2)
Si on choisit le point { 1 =1@2, la fonction de forme vaut
y 1 ({)=({ 1@2)
La minimalisation de l’intégrale
N =
Z 1
0
U({) y 1 ({) g{ =
9
8
x 1 +
1
2
=0