12. Méthode des éléments finis
237
Les polynômes de base sont donnés par
;
A A ?
A A =
S 0 ({)=3({ 1@3)({ 2@3)({ 1)
S 1 ({)=27{(@2)({ 2@3)({ 1)
S 2 ({)=S 1 (1 {)
S 3 ({)=S 2 (1 {)
12.8 Éléments finis hermitiens
Au lieu d’utiliser l’approximation de Lagrange, nous utilisons ici l’interpolation d’Hermite en imposant à la fonction y({) et à sa dérivée d’être
continues sur tout le domaine. Pour une approximation cubique, nous chercherons donc une fonction polynomiale d’ordre 3 de la forme d 3 {
3 + d 2 {
2 +
d 1 { + d 0 vérifiant
;
A A ?
A A =
y({ n )=y n
y
0 ({ n )=y
0
n
y({ n+1 )=y n+1
y
0 ({ n+1 )=y
0
n+1
où les nombres y n >y
0
n >y n+1 >y
0
n+1 sont des nombres quelconques. Une telle
fonction est unique et s’écrit
y({)=y n Q 0 ({)+y
0
n Q 1 ({)+y n+1 Q 2 ({)+y
0
n+1 Q 3 ({)
avec
½
Q l ({)=S l (
{{ n
k )
si l est pair
Q l ({)=kS l (
{{ n
k )
si l est impair
Les polynômes de base étant donnés par
;
A A ?
A A =
S 0 ({)=({ 1)
2 (2{ +1)
S 1 ({)={({ 1)
2
S 2 ({)=S 0 (1 {)
S 3 ({)=S 1 (1 {)
On calcule facilement la matrice de masse élémentaire
c
P =
1
420
3
E
E
C
156 32
54 13
3 241 33
54
13 156 32
13 3 32
4
4
F
F
D
puis, la matrice de rigidité élémentaire
b
N =
1
30
3
E
E
C
36
3 36 3
34
3 1
36 33 63
3
1 34
4
F
F
D