12. Méthode des éléments finis
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12.3 Maillage et fonctions de forme
Le domaine =[ d> e] est découpé en p sous-domaines élémentaires
m , correspondant à la subdivision d = { 1 >{ 2 >===>{ p1 >{ p = e.O ns e
propose de résoudre l’équation variationnelle sur chaque sous-domaine. Afin
de discrétiser la forme intégrale obtenue, on remplace les fonctions x et y
par une approximation sur une base de fonctions de forme
x({)=
p
X
m=1
x m Q m ({)
et
y({)=
p
X
l=1
y l Q l ({)
L’équation devient
p
X
l>m=1
x l
Z e
d
Q l ({)Q m ({)g{ y m +
p
X
l>m=1
x l
Z e
d
gQ l
g{
gQ m
g{
g{ y m
=
p
X
m=1
y m
Z e
d
i ({)Q m ({)g{ + (y(e)x
0 (e) y(d)x
0 (d))
soit en notant
X =(x 1 >x 2 > ===> x p )>Y =(y 1 >y 2 > ===> y p )>V =(x
0 (d)> 0> ===> 0>x
0 (e))
et en définissant la matrice de masse par
P l>m =
Z e
d
Q l ({)Q m ({)g{
la matrice de rigidité
N l>m =
Z e
d
gQ l
g{
gQ m
g{
g{
et le vecteur de charge par
I m =
Z e
d
i ({)Q m ({)g{
l’équation s’écrit sous forme matricielle
Y (P + N)X = Y (I + V)
d’où on déduit l’expression de X
X =(P + N)
1 (I + V)
Le problème est donc résolu. À partir de cette équation, il su!tdecalculer
les valeurs des matrices pour connaître les solutions aux nœuds du maillage.
Pour cela, il faut aussi choisir les fonctions de forme. Nous présentons plusieurs choix dans les paragraphes suivants.