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Formulation variationnelle
faible du problème. Puis, à construire un espace d’approximation Y k Y ,
en procédant au maillage du domaine, c’est-à-dire en découpant le domaine
= ^ C de R
q
en un nombre fini de sous-domaines, disjoints deux
à deux, sur lesquels on choisit un nombre fini de points appelés nœuds.
Les fonctions de Y k sont définies par morceaux sur chaque nœud intérieur
au domaine, vérifient les conditions limites aux bords du domaine et s’expriment comme combinaisons linéaires d’éléments simples (en général des
polynômes de degré 1, 2 ou 3) appelées fonctions de forme.C e sf o n c t i o n s
définies localement sur chaque nœud intérieur sont continues sur l’ensemble
du domaine et vérifient les conditions aux limites. Dans le cas d’approximation par des éléments lagrangiens, les dérivées premières sont discontinues
aux nœuds intérieurs, mais continues dans le cas d’éléments hermitiens. En
exprimant la formule variationnelle par les éléments de Y k ainsi définis, on
montre que l’équation se transforme en un système matriciel dans lequel
les inconnues sont les valeurs de la fonction solution en chaque nœud. En
choisissant des éléments de structures géométriques simples et identiques,
le traitement matriciel peut être systématisé et eectué sur un seul élément
de référence. On procède alors à la détermination des matrices de masse et
de rigidité élémentaires associées à un élément, puis on assemble ces matrices en les plongeant dans une matrice unique représentant l’ensemble du
domaine. Le système matriciel obtenu est de type bande, ce qui facilite le
stockage des données. La résolution de ce système conduit à la détermination des valeurs de la solution des équations de départ en chaque nœud du
maillage.
12.2 Formulation variationnelle
Pour illustrer la mise en œuvre de la méthode des éléments finis, nous
traiterons dans les paragraphes suivants, l’équation
x({)
g
2 x
g{ 2 = i ({)
pour { défini sur un intervalle [d> e]. Le problème est mis sous forme variationnelle forte
Z e
d
x({)y({)g{
Z e
d
g
2 x
g{ 2 y({)g{ =
Z e
d
i ({)y({)g{
soit en intégrant par parties la deuxième intégrale, la forme variationnelle
faible s’écrit
Z e
d
x({)y({)g{ +
Z e
d
gx
g{
gy
g{
g{ =
Z e
d
i ({)y({)g{ +
y({)
gx
g{
¸ e
d
Formulation variationnelle
faible du problème. Puis, à construire un espace d’approximation Y k Y ,
en procédant au maillage du domaine, c’est-à-dire en découpant le domaine
= ^ C de R
q
en un nombre fini de sous-domaines, disjoints deux
à deux, sur lesquels on choisit un nombre fini de points appelés nœuds.
Les fonctions de Y k sont définies par morceaux sur chaque nœud intérieur
au domaine, vérifient les conditions limites aux bords du domaine et s’expriment comme combinaisons linéaires d’éléments simples (en général des
polynômes de degré 1, 2 ou 3) appelées fonctions de forme.C e sf o n c t i o n s
définies localement sur chaque nœud intérieur sont continues sur l’ensemble
du domaine et vérifient les conditions aux limites. Dans le cas d’approximation par des éléments lagrangiens, les dérivées premières sont discontinues
aux nœuds intérieurs, mais continues dans le cas d’éléments hermitiens. En
exprimant la formule variationnelle par les éléments de Y k ainsi définis, on
montre que l’équation se transforme en un système matriciel dans lequel
les inconnues sont les valeurs de la fonction solution en chaque nœud. En
choisissant des éléments de structures géométriques simples et identiques,
le traitement matriciel peut être systématisé et eectué sur un seul élément
de référence. On procède alors à la détermination des matrices de masse et
de rigidité élémentaires associées à un élément, puis on assemble ces matrices en les plongeant dans une matrice unique représentant l’ensemble du
domaine. Le système matriciel obtenu est de type bande, ce qui facilite le
stockage des données. La résolution de ce système conduit à la détermination des valeurs de la solution des équations de départ en chaque nœud du
maillage.
12.2 Formulation variationnelle
Pour illustrer la mise en œuvre de la méthode des éléments finis, nous
traiterons dans les paragraphes suivants, l’équation
x({)
g
2 x
g{ 2 = i ({)
pour { défini sur un intervalle [d> e]. Le problème est mis sous forme variationnelle forte
Z e
d
x({)y({)g{
Z e
d
g
2 x
g{ 2 y({)g{ =
Z e
d
i ({)y({)g{
soit en intégrant par parties la deuxième intégrale, la forme variationnelle
faible s’écrit
Z e
d
x({)y({)g{ +
Z e
d
gx
g{
gy
g{
g{ =
Z e
d
i ({)y({)g{ +
y({)
gx
g{
¸ e
d