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Exercices
4) L’étude de la stabilité de ce schéma se ramène à prouver que les
racines de ghw(D E)=0sont de module inférieur ou égal à 1.
Pour cela, on pose =
1+}
1 }
. Donner une condition équivalente à la
condition || 1= En posant } = h
l 1> et en appliquant le théorème
de Routh-Hurwitz au polynôme T(})=(1 }
3 )ghw(D E),mon trer
que la condition de stabilité s’exprime par la positivité des fonctions
! 1 ({)=1+(2(2 1)
2
2 ){ 2(2 1)
2 {
2
et
! 2 ({)=1
2 {
Une condition nécessaire et su!sante pour que les racines du polynôme T(})=d 3 }
3 + d 2 }
2 + d 1 } + d 0 (avec d 0 A 0) appartiennent
au demi-plan Uh(}) 0 est que d 3 0, d 2 0 et d 1 d 2 d 0 d 3 0
(Théorème de Routh-Hurwitz.)
5) Montrer qu’une condition nécessaire et su!sante pour la positivité de ! 1 est que ! 1 (1) 0= En déduire que la condition de stabilité
(dans le cas où 1@2) s’écrit
f
2 w
2
{ 2 +
g
2 w
2
{ 2 +2(2 1)w
1
3. Équation des ondes avec viscosité. On considère le problème viscoélastique suivant
;
A A A A A A A ?
A A A A A A A =
C
2 x
Cw 2 f
2 C
2 x
C{ 2
C
3 x
C{ 2 Cw
=0
{ 5 U> w A 0
x({> 0) = x 0 ({)
Cx
Cw
({> 0) = x 1 ({)
On suppose que f et sont des nombres positifs ou nuls et on note
D l’opérateur
Dx l>m =
x l+1>m +2x l>m x l1>m
({) 2
et on considère le schéma de discrétisation
x l>m+1 2x l>m + x l>m1
(w) 2
+ f
2 Dx l>m +
w
D(x l>m x l>m1 )=0
1) Déterminer la matrice d’amplification du schéma.
2) Montrer que la condition de stabilité du schéma s’écrit
f
2 (w)
2
({) 2 +2
w
({) 2 1
3) Que retrouve-t-on si =0?s if =0?