11. Équations hyperboliques
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2. Équation des ondes couplée à une équation de la chaleur. On considère
le système d’équations suivant
;
A A A A A A A A ?
A A A A A A A A =
Cx
Cw
f
Cy
C{
g
Cz
C{
=0
Cy
Cw
f
Cx
C{
=0
Cz
Cw
C
2 z
C{ 2 g
Cx
C{
=0
dans lequel { est un réel et w représente le temps (wA0).
1) Lorsque le paramètre g est nul, le système se découple en une
équation des ondes et une équation de la chaleur. Lorsque =0 ,
montrer que l’élimination de y et z conduit à l’équation
C
2 x
Cw 2 (f
2 + g
2 )
C
2 x
C{ 2 =0
2) On considère le schéma numérique suivant, où est un paramètre
de [1@2> 1]
;
A A A A A A A A A A A ?
A A A A A A A A A A A =
1
w
(x l>q+1 x l>q )
f
{
(y l+1>q y l>q )
g
{
(z l+1>q z l>q )=0
1
w
(y l>q+1 y l>q )
f
{
(x l>q+1 x l1>q+1 )=0
1
w
(z l>q+1 z l>q )
{ 2 [(z l+1>q+1 2z l>q+1 + z l1>q+1 )+
(1 )(z l+1>q 2z l>q + z l1>q )]
g
{
(x l>q+1 x l1>q+1 )=0
Le schéma est-il implicite ou explicite ?
3) On pose = fw@{> = gw@{> = w@{
2 > et =
n{= Démontrer par transformation de Fourier que si on pose [ q =
(c x q > c
y q > c
z q ), on obtient un système de la forme
D[ q+1 = E[ q
avec
D =
3
C
10
0
(h
l 1) 1
0
(h
l 1) 0 1 + 4 sin
2 (@2)
4
D
et
E =
3
C
1 (h
l 1)
(h
l 1)
01
0
001 4(1 )sin
2 (@2)
4
D