11. Équations hyperboliques
225
ce qui conduit, pour =1@2> au schéma de Lax-Wendro
x l>m+1 = x l>m
2
2
(i (x l+1>m ) i (x l1>m )) +
+
2
2
i
0 (x l+1@2>m )(i (x l+1>m ) i (x l>m ))
2
2
i
0 (x l1@2>m )(i (x l>m ) i (x l1>m ))
avec = w@{ et
i
0 (x l±1@2>m )=
i
0 (x l>m )+i
0 (x l±1>m )
2
Le schéma de Lax-Wendro est un schéma explicite à deux niveaux du
second ordre, stable sous la condition CFL.
11.4.4 Schéma d’Engquist-Osher
Pour l’équation de Burgers généralisée
Cx
Cw
+
Ci(x)
C{
=0
le schéma d’Engquist-Osher est une généralisation de celui de LaxWendro.
x l>m+1 = x l>m ((x l>m >x l+1>m ) (x l1>m >x l>m ))
où = w@{> et le flux numérique est donné par
(x> y)=
1
2
(i (y) i (x))
2
Z y
x
|i
0 ( )| g
Le terme intégral discrétise la viscosité numérique. Le schéma est du premier ordre, stable sous la condition CFL.
11.4.5 Schéma de Godunov
Pour l’équation de Burgers généralisée
Cx
Cw
+
Ci(x)
C{
=0
le schéma de Godunov introduit le flux numérique (x> y) à partir du solveur de Riemann z(0>x>y)
(x> y)=z(0>x>y)=
;
?
=
i (x)
si i
0 (x) A 0
i j(0) si i
0 (x) ? 0 et i
0 (y) A 0
i (y)
si i
0 (y) ? 0