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Équation de Burgers
11.4.2 Schéma saute-mouton
Le schéma saute-mouton de l’équation de Burgers
x l>m+1 = x l>m1
w
2{
(i (x l+1>m ) i (x l1>m ))
est un schéma explicite à trois niveaux, d’ordre 2, stable sous la condition
CFL.
11.4.3 Schéma de Lax-Wendro
Pour établir le schéma de Lax-Wendro de l’équation généralisée de Burgers, écrivons un développement de Taylor à l’ordre 2
x({> w + w)=x({> w)+w
Cx
Cw
({> w)+
w
2
2
C
2 x
Cw 2 ({> w)+R(w
3 )
soit en termes discrétisés
x l>m+1 = x l>m + w
µ Cx
Cw
¶
l>m
+
w
2
2
µ C
2 x
Cw 2
¶
l>m
+ R(w
3 )
Discrétisons en diérences centrées
µ Cx
Cw
¶
l>m
=
µ Ci(x)
C{
¶
l>m
=
i (x l+1>m )+i (x l1>m )
2{
+ R({
2 )
Remarquons que
C
2 x
Cw 2 =
C
Cw
µ
Ci(x)
C{
¶
=
C
C{
µ
i
0 (x)
Cx
Cw
¶
=
C
C{
µ
i
0 (x)
Ci(x)
C{
¶
Pour un 5 [0> 1]> si on pose C { i (x)=Ci(x)@C{> on a
C
C{
(i
0 (x)C { i (x)) = i
0 (x({ + {> w))
i (x({ + {> w) i (x({ {> w))
{ 2
i
0 (x({ +( 1){> w))
i (x({> w) i (x({ {> w))
{ 2
+R({)
expression dans laquelle on a remplacé
Ci(x)
C{
=
i (x({ + {> w) i (x({ {> w))
{ 2
d’où l’expression discrétisée
C
C{
µ
i
0 (x)
Ci(x)
C{
¶
l>m
=
i
0 (x l+>m )
{ 2 (i (x l+1>m ) i (x l>m ))
i
0 (x l+(1)>m )
{ 2
(i (x l>m ) i (x l1>m ))