11. Équations hyperboliques
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admet comme schéma de discrétisation, le schéma de Lax suivant
x l>m+1
1
2 (x l1>m + x l+1>m )
w
+
i (x l+1>m ) i (x l1>m )
2{
=0
Ce schéma est un schéma explicite à deux niveaux en temps du premier
ordre, stable s’il vérifie la condition de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL)
w
{
sup |i
0 (x l>m )| 1
En eet, posons
=sup|i
0 (x l>m )|
en utilisant la relation
i (x l+1>m ) i (x l1>m )=
2
(x l+1>m x l1>m )
le schéma linéarisé s’écrit sous la forme
x l>m+1 =
1
2
(x l1>m + x l+1>m )
w
2{
(x l+1>m x l1>m )
En prenant la transformée de Fourier, on a
ˆ
x l>m+1 = v(n)ˆ x l>m
La fonction d’amplification, qui vaut
v(n)=cos(n{) l
w
{
sin(n{)
est de module inférieur à 1 sous la condition CFL.
Remarquons que le schéma de Lax peut aussi s’écrire sous la forme
x l>m+1 = x l>m
w
2{
(i (x l+1>m ) i (x l1>m )) +
1
2
(x l+1>m 2x l>m + x l1>m )
qui correspond à la discrétisation de l’équation parabolique
Cx
Cw
+
Ci(x)
C{
= %
C
2 x
C{ 2
où on a posé % = {= Le schéma de Lax-Friedrichs introduit un terme
supplémentaire qu’on appelle la viscosité numérique (par analogie avec la
mécanique des fluides). Lorsque % tend vers zéro, l’équation parabolique
tend vers l’équation hyperbolique.