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Équation de Burgers
11.3.4 Schéma de Lax-Wendro
Le schéma de Lax-Wendro,a v e c = w@{
;
A ?
A =
y l>m+1 = y l>m + f
2
(z l+1>m z l1>m )+
f
2
2
2
(y l+1>m 2y l>m + y l1>m )
z l>m+1 = z l>m + f
2
(y l+1>m y l1>m )+
f
2
2
2
(z l+1>m 2z l>m + z l1>m )
est un schéma stable sous la condition CFL. Sa matrice d’amplification
s’écrit
V =
µ
1+dl e
le
1+d
¶
avec d = f
2
2 (cos(n{) 1) et e = f sin(n{)=
11.4 Équation de Burgers
L’équation de J.M. Burgers
Cx
Cw
+ x
Cx
C{
=0
se généralise sous la forme
Cx
Cw
+
Ci(x)
C{
=0
Lorsque i est une fonction convexe, l’équation de Burgers associée à la
condition initiale
x({> 0) =
½
x j si {?0
x g si {A0
admet une solution unique x({> w)=z({@w> x j >x g )> où z est la fonction
suivante appelée solveur de Riemann et j la fonction telle que i
0 (j({)) = {
z(|> x> y)=
;
?
=
x
si |?i
0 (x)
j(|) si i
0 (x) ?|?i
0 (y)
y
si |Ai
0 (y)
Dans la suite, nous supposerons que i est convexe et de classe F
2
.
11.4.1 Schéma de Lax-Friedrichs
L’équation de Burgers
Cx
Cw
+
Ci(x)
C{
=0