11. Équations hyperboliques
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11.3.2 Schéma de Lax
Pour l’équation des ondes écrite sous forme d’un système
;
A A A ?
A A A =
Cy
Cw
= f
Cz
C{
Cz
Cw
=
Cy
C{
le schéma de Lax
;
A A ?
A A =
y l>m+1 =
1
2
(y l+1>m + y l1>m )+f
w
2{
(z l+1>m y l1>m )
z l>m+1 =
1
2
(z l+1>m + z l1>m )+f
w
2{
(y l+1>m y l1>m )
est un schéma à deux niveaux, du premier ordre, stable si la condition CFL
est vérifiée
f
w
{
1
Par transformée de Fourier, on vérifie que la matrice d’amplification du
schéma s’écrit
V =
µ
cos(n{) ld
ld
cos(n{)
¶
avec
d = f
w
{
sin(n{)
Comme le discriminant du polynôme caractéristique est négatif = d
2 >
les racines sont complexes conjuguées et de module
||
2 =1 sin
2 (n{)(1 f
2 w
2
{ 2 )
Le rayon spectral est donc inférieur à 1, si la condition CFL est vérifiée.
11.3.3 Schéma saute-mouton
Le schéma saute-mouton pour l’équation des ondes écrite sous forme d’un
système du premier ordre
;
A ?
A =
y l>m+1 = y l>m1 + f
w
{
(z l+1>m z l1>m )
z l>m+1 = z l>m1 + f
w
{
(y l+1>m y l1>m )
est un schéma à trois niveaux, explicite et du second ordre, stable s’il vérifie
la condition CFL.