220
Équation des ondes
et écrivons le -schéma associé à l’équation des ondes sous la forme
x l>m+1 2x l>m + x l>m1
(w) 2
f
2 Dx l>m+1 +(1 2)Dx l>m + Dx l>m1
({) 2
=0
avec
Dx l>m = x l+1>m 2x l>m + x l1>m
Le schéma est explicite si =0et implicite dans tous les autres cas. Si
0 1@4> le schéma est stable si
f
w
{
1
s
1 4
si 1@4 1> le schéma est universellement stable. En eet, par transformation de Fourier, en remarquant que
(Dx l>m )
ˆ =(h
ln{ + h
ln{ 2)ˆ x l>m = 4sin
2 (n{)ˆ x l>m
Le schéma s’écrit
(1 +
2 )ˆ x l>m+1 (2 (1 2)
2 )ˆ x l>m +(1+
2 )ˆ x l>m1 =0
avec
=2f
w
{
sin
2 (n{)
d’où la matrice d’amplification
µ
ˆ
x l>m+1
b
y l>m+1
¶
=
µ
d 1
10
¶µ
ˆ
x l>m
b
y l>m
¶
avec
d =
2 (1 2)
2
1+ 2
Le polynôme caractéristique
2 d +1 = 0 admet comme discriminant
= d
2 4= Ce discriminant est négatif si et seulement si
2 (1 4) 4
ce qui équivaut à la condition
f
w
{
1
s
1 4
Si 1@4> le discriminant est négatif, les racines sont complexes conjuguées et de module 1 (car le produit des racines vaut 1), le schéma est
toujours stable. Si ?1@4> le rayon spectral de la matrice d’amplification
est inférieur à 1 si et seulement si
f
w
{
1
s
1 4