11. Équations hyperboliques
219
En termes de distribution, l’équation
C
2 x
Cw 2 f
2 C
2 x
C{ 2 = x 0 ({)(w)+x 1 ({)
0 (w)
admet une solution faible
x({> w)=H({> w) x 0 ({)+
CH
Cw
x 1 ({)
avec
H({> w)=
1
2
" |{|?fw =
½
1@2 si |{| ?fw
0
si |{| Afw
Remarquons que si on pose y = Cx@C{ et z = Cx@fCw> l’équation des ondes
s’écrit sous la forme du système
;
A ?
A =
Cy
Cw
= f
Cz
C{
Cz
Cw
=
Cy
C{
Plus généralement, le problème
;
A A A A A A A ?
A A A A A A A =
C
2 x
Cw 2 = f
2 x + i ({> w)
si { 5 R
q > et w 5 R
x({> 0) = x 0 ({)
Cx
Cw
({> 0) = x 1 ({)
admet une solution qui, si on note i w ({) la fonction i ({> w)> est donnée par
la formule suivante
x({> w)=
1
f
H fw x 1 ({)+C w
µ 1
f
H fw x 0
¶
({)+
+
Z w
0
1
f
H f(wv) i w ({)gv
H w ({) est la fonction notée aussi H({> w) qui admet comme transformée de
Fourier la fonction
b
H w ()=
sin(w kk)
kk
11.3.1 Méthode du theta-schéma
Considérons l’équation des ondes
C
2 x
Cw 2 f
2 C
2 x
C{ 2 =0