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Équation des ondes
et
C
2 x
C{ 2 ({ l >w m )=
x l+1>m 2x l>m + x l1>m
({) 2
le schéma s’écrit
x l>m+1 x l>m
w
= f
x l+1>m x l1>m
2{
+ f
2 w
2
x l+1>m 2x l>m + x l1>m
({) 2
Le schéma de Lax-Wendro est un schéma explicite, d’ordre 2 en espace
et d’ordre 2 en temps, stable et convergent sous la condition de CourantFriedrichs-Lewy
d = f
w
{
1
La fonction d’amplification du schéma s’écrit
v(n)=(1 d
2 + d
2 cos(n{)) ld sin(n{)
11.3 Équation des ondes
L’équation des ondes est le prototype des équations hyperboliques linéaires du deuxième ordre
C
2 x
Cw 2 = f
2 C
2 x
C{ 2
Elle admet pour solution, toute fonction de la forme
x({> w)=i ({ + fw)+j({ fw)
où i et j sont des fonctions arbitraires de classe F
2
, représentant la somme
d’une onde progressive et d’une onde régressive. Plus précisément, considérons le problème de Cauchy suivant
;
A A A A A A A ?
A A A A A A A =
C
2 x
Cw 2 = f
2 C
2 x
C{ 2
si { 5 R> et wA0
x({> 0) = x 0 ({)
Cx
Cw
({> 0) = x 1 ({)
Si x 0 est de classe F
s
et si x 1 est de classe F
s1
, le problème de Cauchy
admet une solution classique de classe F
s
x({> w)=x 0 ({ + fw)@2+x 0 ({ fw)@2+
1
2f
Z {+fw
{fw
x 1 ( )g