11. Équations hyperboliques
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11.2.3 Schéma saute-mouton
Pour l’équation de transport,
Cx
Cw
+ f
Cx
C{
=0
le schéma saute-mouton est un schéma explicite à trois niveaux de temps
x l>m+1 x l>m1
2w
+ f
x l+1>m x l1>m
2{
=0
qui est stable et convergent sous la condition CFL
d = f
w
{
1
La matrice d’amplification du schéma s’écrit
µ
ˆ
x l+1
ˆ
x l
¶
=
µ
1
10
¶µ
ˆ
x l
ˆ
x l1
¶
avec
= 2ld sin(n{)
11.2.4 Schéma de Lax-Wendro
Pour l’équation de transport,
Cx
Cw
+ f
Cx
C{
=0
le schéma de Lax-Wendro est obtenu à partir d’un développement de
Taylor au deuxième ordre
x({ l >w m+1 )=x({ l >w m )+w
Cx
Cw
({ l >w m )+
w
2
2
C
2 x
Cw 2 ({ l >w m )
Comme
Cx
Cw
= f
Cx
C{
et
C
2 x
Cw 2 = f
C
2 x
CwC{
= f(f
C
2 x
C{ 2 )=f
2 C
2 x
C{ 2
le développement devient
x({ l >w m+1 )=x({ l >w m )+fw
Cx
C{
({ l >w m )+f
2 w
2
2
C
2 x
C{ 2 ({ l >w m )
En utilisant les discrétisations usuelles
Cx
C{
({ l >w m )=
x l+1>m x l1>m
2{