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Équation du transport
11.2 Équation du transport
L’équation du transport est le prototype des équations hyperboliques
linéaires du premier ordre.
Cx
Cw
+ f
Cx
C{
=0
Elle admet une solution de la forme
x({> w)=i ({ fw)
qui représente l’évolution d’une onde progressive se propageant à la vitesse
f.
11.2.1 Schéma de Lax
Pour l’équation de transport,
Cx
Cw
+ f
Cx
C{
=0
le schéma de Lax (1954)
x l>m+1
1
2 (x l1>m + x l+1>m )
w
+ f
x l+1>m x l1>m
2{
=0
est un schéma à un niveau de temps, stable et convergent s’il vérifie la
condition de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL)
d = f
w
{
1
Par transformation de Fourier, on vérifie que la fonction d’amplification du
schéma est
v(n)=cos(n{) ld sin(n{)
11.2.2 Schéma décentré
Pour l’équation de transport,
Cx
Cw
+ f
Cx
C{
=0
le schéma décentré
x l>m+1 x l>m
w
+ f
x l>m x l1>m
{
=0
est un schéma stable et convergent sous la condition CFL
d = f
w
{
1
La fonction d’amplification du schéma s’écrit
v(n)=(1 d + d cos(n{)) ld sin(n{)