11. Équations hyperboliques
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aux dérivées partielles en une formulation variationnelle : Pour toute fonction ! de classe F
1 (R
2 ) à support borné
Z +4
4
g{
Z +4
0
(x
C!
Cw
+
x
2
2
C!
C{
)gw +
Z +4
4
x 0 ({)!({> 0)g{ =0
On démontre alors que si x est une solution de classe F
1
du problème de
Cauchy, x vérifie l’équation variationnelle et que inversement, si x vérifie
l’équation variationnelle et si x est de classe F
1 > alors x est une solution
classique du problème de Cauchy.
Condition de Rankine-Hugoniot.O nd i tq u ex est une discontinuité de
première espèce le long d’une courbe C,s ix n’est pas continue, x et ses
dérivées admettent une dérivée à droite et une dérivée à gauche qui sont
des fonctions continues de l’abscisse curviligne sur C.O nd é m o n t r eq u es i
x est une fonction de classe F
1
par morceaux présentant des discontinuités
de première espèce sur une courbe C> alors la pente du choc est égale à la
valeur moyenne des valeurs de part et d’autre du choc.
g{
gw
¯
¯
¯
¯
C
=
x
+ x
+
2
Pour l’équation de Burgers généralisée, la condition de Rankine-Hugoniot
exprime la continuité du flot i ({) à travers la courbe des discontinuités
{ = {(w).
Problème bien posé. On démontre que si x 0 est une fonction mesurable
bornée, le problème de Cauchy reformulé en
;
A A A ?
A A A =
Cx
Cw
+ x
Cx
C{
=0
si { 5 R> et wA0
x({> 0) = x 0 ({)
g{
gw
¯
¯
C
=(x
+ x
+ )@2
Condition Rankine-Hugoniot
;{> ;wA0>x ({ 0>w) x({ +0>w) Condition d’entropie
admet une solution unique. Ce problème est équivalent au problème formulé
en termes variationnels
;
A A A A ?
A A A A =
;! 5 F
1 (R
2 ) à support borné
R +4
4
g{
R +4
0
(x
C!
Cw +
x
2
2
C!
C{ )gw +
R +4
4
x 0 ({)!({> 0)g{ =0
;{> ;wA0>x ({ 0>w) x({ +0>w)
qui admet une solution unique, si x 0 est une fonction mesurable bornée.