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Résultats fondamentaux
Condition d’entropie. Supposons que la fonction x 0 soit la fonction de Heaviside.
½
x 0 ()=0
si 0
x 0 ()=1
si A0
Dans ces conditions, une solution s’écrit
;
?
=
x({> w)=0
si { 0
x({> w)=1
si 0 ?w {
x({> w)={@w
si 0 { w
Bien que la donnée initiale soit discontinue, la solution proposée est continue. Mais ce système admet une deuxième solution avec choc
½
x({> w)=0
si { w@2
x({> w)=1
si {Aw@2
Les chocs se déplacent le long de la droite d’équation { = w@2. Afin d’éliminer cette solution, nous imposons une condition supplémentaire : c’est
la condition d’entropie :
;{> ;wA0>x ({ 0>w) x({ +0>w)
Nous acceptons les chocs à travers lesquels x diminue et nous refusons ceux
à travers lesquels x augmente.
Focalisation des caractéristiques. Considérons la donnée initiale
½
x 0 ()=0
si 0
x 0 ()=
2
si A0
Les caractéristiques se coupent. Si on note i ({> w> )={ x 0 () >
l’enveloppe des caractéristiques a pour équation le système paramétrique
i =0et Ci@C =0> soit
;
A ?
A =
w =
1
x 0 ()
{ =
x 0 ()
x 0
0 ()
C’est-à-dire, ici, la branche d’hyperbole d’équation w =1 @4{.O ns a i tq u e
sur chaque caractéristique, la solution est constante et égale à la pente
x 0 ()> par conséquent si les caractéristiques focalisent, au point d’intersection la fonction x({> w) prend au moins deux valeurs ce qui est inacceptable
(le problème est mal posé). De plus, lorsque x a des discontinuités de ses
dérivées, l’équation aux dérivées partielles n’est plus définie car ses dérivées
n’existent pas. Afin de remédier à ce problème, on transforme l’équation