11. Équations hyperboliques
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soit en éliminant { 0 ,
½
x({> 0) = w
si { 0 ?
x({> 0) = ( f)w + {
si { 0 A
On voit alors que si { 0 ?>c’est-à-dire à gauche de la droite caractéristique,
la dérivée Cx@C{ =0et que si { 0 A >c’est-à-dire à droite de la droite
caractéristique, la dérivée vaut Cx@C{ =1 = Par conséquent, Cx@C{ est
discontinue le long de la caractéristique. Conclusion : La singularité de la
fonction x({> w) se propage le long des courbes caractéristiques.
Exemple 3. Considérons l’équation des ondes
C
2 x
Cw 2 = f
2 C
2 x
C{ 2
avec pour conditions limites
;
?
=
x({> w)=0
si { = fw et { 1
x({> w)={ 1
si { = fw et { 1
x({> w)={
si { = fw
La solution de cette équation
½
x({> w)=
1
2 ({ fw)
si { 1
x({> w)={ 1
si { 1
est une solution faible car la fonction x({> w) est continue, mais n’est pas
dérivable au point ({ =1 >w =1 @f). En ce point, la condition limite n’est
pas dérivable : cette singularité se retrouve dans la solution.
Exemple 4. Considérons l’équation hyperbolique non linéaire de J.M. Burgers
Cx
Cw
+ x
Cx
C{
=0
Le problème de Cauchy
( Cx
Cw
+ x
Cx
C{
=0
si { 5 R> et wA0
x({> 0) = x 0 ({)
admet une solution x({> w) définie paramétriquement par l’équation des
caractéristiques (G )
{ = x 0 ()w +
Sur ces courbes, la solution est constante : x = x 0 ()= Étudions sur des
exemples, le fait que le problème soit bien ou mal posé et sous quelles
conditions les chocs apparaissent.