212
Résultats fondamentaux
focalisation des caractéristiques. La solution d’une équation hyperbolique
linéaire ne dépend que partiellement des conditions initiales.
Exemple 1. Considérons l’équation du transport
Cx
Cw
+ f
Cx
C{
=
avec comme conditions aux limites
½
x({> 0) = 0
si {?
x({> 0) =
si {A
La donnée x({> w) est discontinue au point (> 0)> car on suppose 6 =0 =
L’équation des caractéristiques s’écrit
gw
1
=
g{
f
=
gx
Les caractéristiques sont des droites. La caractéristique qui passe par le
point ({ 0 > 0) a pour équation
{ = fw + { 0
Les solutions sont données par
½
x({> 0) = ({ { 0 )@f
si { 0 ?
x({> 0) = ({ { 0 )@f +
si { 0 A
Le long d’une caractéristique
lim
{ 0 $
x({> w) 6 = lim
{ 0 $ +
x({> w)
La fonction x({> w) est donc discontinue le long d’une caractéristique. Par
conséquent, cet exemple illustre le fait qu’une discontinuité dans les données
entraîne une discontinuité de la solution le long des courbes caractéristiques.
Exemple 2. Considérons l’équation du transport
Cx
Cw
+ f
Cx
C{
=
avec comme conditions aux limites
½
x({> 0) = 0
si {?
x({> 0) = {
si {A
La donnée x({> w) est continue au point (> 0)> mais Cx@C{ est discontinue
en ce point. La caractéristique qui passe par le point ({ 0 > 0) a pour équation
{ = fw + { 0 = Les solutions s’écrivent
½
x({> 0) = ({ { 0 )@f
si { 0 ?
x({> 0) = ({ { 0 )@f + { 0
si { 0 A