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Équations hyperboliques
Les problèmes hyperboliques ont un comportement diérent des équations elliptiques ou paraboliques, car ils présentent un phénomène particulier qui est la présence de chocs. Nous envisagerons trois cas d’équations
hyperboliques, deux équations hyperboliques linéaires — équation du transport et équation des ondes — de la forme
C
2 x
Cw 2 u=(dux)+fx = i
et comme prototype des équations hyperboliques non linéaires, l’équation
de Burgers.
Cx
Cw
+
Ci(x)
C{
=0
11.1 Résultats fondamentaux
Les chocs ou ondes de chocs sont les singularités de la solution d’une
équation aux dérivées partielles. Contrairement aux équations elliptiques
et paraboliques qui n’ont pas de chocs, les équations hyperboliques peuvent
avoir des chocs. Si l’équation hyperbolique est linéaire et admet des chocs,
alors ceux-ci figurent dans les conditions initiales ou les conditions limites.
Les chocs se propagent le long des caractéristiques. En revanche, si l’équation hyperbolique est non linéaire, des chocs qui ne figurent pas dans les
données (conditions initiales ou conditions limites) peuvent apparaître par