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Méthode de Crank-Nicholson
On obtient finalement
ˆ
x l>m+1 = v(n)ˆ x l>m
v(n) est la fonction d’amplification suivante
v(n)=
1 4d(1 )sin
2 (n{)
1+4d sin
2 (n{@2)
La stabilité est assurée si et seulement si
|v(n)| 1
ce qui équivaut à
1 4d 1 4d(1 ) 1+4d
avec =sin
2 (n{@2)= Les nombres d et étant positifs, l’inégalité de droite
est toujours vérifiée. L’inégalité de gauche conduit à
2d(1 2) 1
Si 1 2 0, le schéma est universellement stable car 1 v(n) et si
0 ?1@2> l’inégalité n’est vraie quel que soit si et seulement si
2d(1 2) 1
c’est-à-dire si
d =
fw
({) 2
1
2(1 2)
10.5 Méthode de Crank-Nicholson
Considérons l’équation parabolique générale du premier ordre
Cx
Cw
= d({)
C
2 x
C{ 2 + e({)
Cx
C{
+ f({)x + g({)
Le schéma de Crank-Nicholson
x l>m+1 x l>m
w
= d l
x l1>m 2x l>m + x l+1>m
2({) 2
+ e l
x l+1>m x l1>m
4{
+ f l
x l>m
2
+g l + d l
x l1>m+1 2x l>m+1 + x l+1>m+1
2({) 2
+e l
x l+1>m+1 x l1>m+1
4{
+ f l
x l>m+1
2
est universellement stable.