10. Équations paraboliques
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10.6 Méthode alternative de
Peaceman-Rachford-Douglas
Pour résoudre une équation de la forme
Cx
Cw
= d
C
2 x
C{ 2 + e
C
2 x
C| 2
Peaceman-Rachford proposent de remplacer l’équation diérentielle par
deux équations discrétisées utilisées alternativement sur des périodes w@2.
Si on note y l>m le résultat intermédiaire, le schéma s’écrit
;
A A A A ?
A A A A =
y l>m x
q
l>m
(w@2)
= d
y l1>m 2y l>m + y l+1>m
({) 2
+ e
x
q
l>m1 2x
q
l>m + x
q
l>m+1
(|) 2
x
q+1
l>m y l>m
(w@2)
= d
y l1>m 2y l>m + y l+1>m
({) 2
+ e
x
q+1
l>m1 2x
q+1
l>m + x
q+1
l>m+1
(|) 2
En posant
L { x
q
l>m =
x
q
l1>m 2x
q
l>m + x
q
l+1>m
({) 2
et
L | x
q
l>m =
x
q
l>m1 2x
q
l>m + x
q
l>m+1
(|) 2
et en définissant X q comme la matrice (x
q
l>m )e tY q la matrice (y
q
l>m ), les
équations s’écrivent sous forme matricielle
;
?
=
Y q X q =
w
2 (dL { Y q + eL | X q )
X q+1 Y q =
w
2 (dL { Y q + eL | X q+1 )
À l’étape q,c o n n a i s s a n tX q ,o nc a l c u l eY q puis X q+1 par résolution de
systèmes tridiagonaux.
10.7 Exercices
1. Schéma rétrograde. On considère l’équation de la chaleur
Cx
Cw
= f
C
2 x
C{ 2
et le schéma rétrograde suivant
3
2 x l>m+1 2x l>m +
1
2 x l>m1
w
= f
x l+1>m+1 2x l>m+1 + x l1>m+1
{ 2
Déterminer l’ordre du schéma. Le schéma est-il explicite ou implicite ?
Étudier la stabilité du schéma.