10. Équations paraboliques
207
On démontre que le problème admet pour t s et tAq (s1) si i 5 O
t (
)
une solution unique x 5 F([0>W]>O
t (
))= Cette solution est indéfiniment
dérivable x 5 F
4 ([0>W] ×
)= Dans le cas où x est une fonction à valeurs
réelles (p =1 ), i est une fonction de O
4 (
), alors le problème admet
une solution unique x 5 O
4 ([0> 4[×
) _ F
4 ([0> 4[×
)= Lorsque est un
ouvert borné, et x une fonction scalaire (p =1), le problème de Dirichlet
;
A A A A A ?
A A A A A =
Cx
Cw
x I (w> {> x> ux)=0
{ 5
, wA0
x({> 0) = i ({)
{ 5
x({> w)=0
{ 5 C
>w A 0
admet une solution unique. Si la fonction i est une fonction de classe F
1
,
bornée sur
> la solution est indéfiniment dérivable sur [0> 4[×
=
10.4 Méthode du theta-schéma
L’équation de la chaleur
Cx
Cw
= f
C
2 x
C{ 2
est discrétisée sous la forme
x l>m+1 x l>m
w
= f
x l1>m+1 2x l>m+1 + x l+1>m+1
({) 2
+ ===
===+(1 ) f
x l1>m 2x l>m + x l+1>m
({) 2
La méthode du -schéma est appelée méthode explicite si =0 > méthode
de Crank-Nicholson si =1@2 et méthode implicite si =1= On démontre
que si 0 ?1@2> le -schéma est stable si
fw
({) 2
1
2(1 2)
et que si 1@2 1> la méthode est universellement stable. En eet, en
prenant la transformée de Fourier du -schéma,
ˆ
x l>m+1 ˆ
x l>m = d(ˆ x l>m+1 h
ln{ 2ˆ x l>m +ˆ x l>m+1 h
ln{ )
+d(1 )(ˆ x l>m h
ln{ 2x l>m +ˆ x l>m h
ln{ )
avec
d =
fw
({) 2