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Équation de la diusion
10.2 Équation de la diusion
Considérons le problème suivant
;
A A A A A ?
A A A A A =
Cx
Cw
u=(dux)+fx =0
{ 5
, wA0
x({> 0) = x 0 ({)
{ 5
x({> w)=0
{ 5 C

où (d lm ) est une matrice symétrique réelle définie positive de F
4 (
) et
f({) une fonction positive ou nulle appartenant aussi à F
4 (
).O nd é -
montre que ce problème admet une solution si est borné en utilisant une
décomposition spectrale de l’opérateur
D =
q
X
l>m=1
C m d({)C l + f({)
et si n’est pas borné, on montre que l’opérateur D de domaine
G(D)={x 5 K
1
0 (
)>D (x) 5 O
2 (
)}
est un opérateur maximal accrétif et le théorème de Hille-Yosida permet
de conclure qu’il existe une unique solution. Notons qu’un opérateur D
non borné de domaine G(D) s u ru ne s p a c ed eH i l b e r tK est dit maximal
accrétif si Uh(Dx> x) 0> pour tout x 5 G(D) et si pour un A0> l’image
de (D + ) est égale à l’espace K tout entier
Lp(D + )=K
10.3 Équation parabolique non linéaire
Soit ouvert non borné de R
q
, on considère l’équation
Cx
Cw
fx
p
X
m=1
C m k m (x)=0
avec x({> 0) = i ({)>xprend ses valeurs dans R
p >C m désigne la dérivée par
rapport à x m > les fonctions k m sont dérivables et vérifient pour 1 s 4
|k m (x)| F(1 + |x|
2 )
s
et
|uk m (x)| F(1 + |x|
2 )
s1