10. Équations paraboliques
205
En intégrant deux fois par parties, et en utilisant le fait que la fonction *
s’annule à l’infini
L 2 = lim
%$0
1
4
s
f
Z 4
0
Z +4
%
µ {
2
2f 2 w 5@2
1
fw 3@2
¶
h
{
2 @4fw *g { g w
d’où
hGH> *i =l i m
%$0
Z +4
4
(4f%)
1@2 h
{
2 @4f% *({> %) g{
=l i m
%$0
Z +4
4
1
s
h
|
2 *(2f
s
%|> %) g|
par changement de variable | = {@
s
4f%> on obtient finalement
hGH> *i = *(0> 0)
Par conséquent H est bien une solution élémentaire de l’opérateur G.L e
problème considéré pour { 5 R et wA0 admet donc une solution unique
x({> w)=
1
2
s
fw
Z +4
4
i (|)h
({|) 2
4fw
g|
Ce résultat permet de résoudre d’autres problèmes dans lesquels le domaine
est restreint au cas des {A0= Par exemple, le problème de Dirichlet
;
A ?
A =
Cx
Cw
fx =0
{A0, wA0
x({> 0) = i ({)
x(0>w)=0
admet comme solution
x({> w)=
1
2
s
fw
Z +4
0
i (|)
µ
h
({|) 2
4fw
h
({+|) 2
4fw
¶
g|
Le problème de Neumann
;
A ?
A =
Cx
Cw
fx =0
{A0, wA0
x({> 0) = i ({)
C { x(0>w)=0
admet pour solution
x({> w)=
1
2
s
fw
Z +4
0
i (|)
µ
h
({|) 2
4fw
+ h
({+|) 2
4fw
¶
g|