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Équation de la chaleur
Si i est une fonction de O
2 (R
q )> alors x est une fonction seulement continue.
Dans le cas de variables réelles (w, { 5 R), la distribution
H({> w)=
1
(4fw) 1@2 h
{
2 @4fw K(w)
où K(w) est la distribution de Heaviside (valant 1 pour wA0 et 0 sinon)
est solution fondamentale de l’équation GH = où G est l’opérateur
G =
C
Cw
f
C
2
C{ 2
Soit * 5 D(R
q )>
hGH> *i = hH> C w * fC {{ *i
=
Z
[0>4[×R
(4fw)
1@2 h
{
2 @4fw (C w * fC {{ *) g{gw
Évaluons séparément les deux intégrales
L 1 =
Z
[0>4[×R
(4fw)
1@2 h
{
2 @4fw (C w *) g{gw
= lim
%$0
Z 4
0
Z +4
%
(4fw)
1@2 h
{
2 @4fw (C w *) g{gw
En intégrant par parties, on obtient
L 1 = lim
%$0
Z 4
0
Z +4
%
C w
³
(4fw)
1@2 h
{
2 @4fw
´
*g { g w+
+
Z +4
4
h
(4fw)
1@2 h
{
2 @4fw *({> w)
i 4
%
g{
soit
L 1 = lim
%$0
1
4
s
f
Z 4
0
Z +4
%
µ {
2
2f 2 w 5@2
1
fw 3@2
¶
h
{
2 @4fw *g { g w
Z +4
4
(4f%)
1@2 h
{
2 @4f% *({> %) g{
De la même manière, on calcule la deuxième intégrale
L 2 =
Z
[0>4[×R
(4fw)
1@2 h
{
2 @4fw (fC {{ *) g{gw
=l i m
%$0
Z 4
0
Z +4
%
(4fw)
1@2 h
{
2 @4fw (fC {{ *) g{gw