1. Problèmes numériques
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La propagation des erreurs dans diverses parties du calcul a pour conséquence d’ajouter de l’imprécision là où elle n’était pas nécessairement attendue. Dans les calculs itératifs, l’erreur se propage d’une étape à l’autre.
Exemple. Dans le calcul numérique des termes de la suite définie par la
relation de récurrence
{ q+1 =
1
q
+ d{ q
l’erreur qui est donnée par
{ q+1 ' d{ q
évolue exponentiellement. À l’étape q, l’erreur est multipliée par d
q = D’une
étape à l’autre l’erreur se propage et peut conduire à l’explosion de l’algorithme.
1.2 Convergence et stabilité
Les méthodes numériques utilisées pour résoudre un problème approché
conduisent à un résultat qui est toujours entaché d’erreur. Cette erreur doit
être su!samment petite pour que la solution numérique converge vers la
solution réelle. Dans ce cas l’algorithme (ou la méthode) est dit convergent.
Si un raisonnement mathématique permet de montrer qu’une méthode diverge, elle ne pourra en aucun cas être utilisée sur un calculateur. En revanche, si la méthode converge il se peut qu’en pratique elle diverge.
La vitesse de convergence est un facteur important de la qualité des algorithmes. Si la vitesse de convergence est élevée, l’algorithme converge
rapidement et le temps de calcul est moindre. Ces préoccupations de rapidité de convergence ont conduit à diversifier les modes de convergence et à
chercher des processus optimaux.
La stabilité garantit que les erreurs ne s’amplifient pas au cours du déroulement de l’algorithme et que la méthode reste stable. À côté de cette
stabilité numérique, il y a aussi la stabilité des solutions qui intervient dans
les problèmes équationnels et qui est bien mise en évidence par les techniques perturbatives. Lorqu’un problème (S ) admet une solution, il est
intéressant d’envisager le problème perturbé, noté (S % ), où % est un petit
paramètre et de se demander si les solutions du système perturbé sont voisines de la solution du système non perturbé. Il n’existe pas de théorème
général qui réponde à cette question.
Donnons quelques définitions. Soit x : L $ U une fonction à valeurs réelles
définie sur un intervalle L =[ d> e] et une subdivision d = { 0 ?{ 1 ?{ 2 ===
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La propagation des erreurs dans diverses parties du calcul a pour conséquence d’ajouter de l’imprécision là où elle n’était pas nécessairement attendue. Dans les calculs itératifs, l’erreur se propage d’une étape à l’autre.
Exemple. Dans le calcul numérique des termes de la suite définie par la
relation de récurrence
{ q+1 =
1
q
+ d{ q
l’erreur qui est donnée par
{ q+1 ' d{ q
évolue exponentiellement. À l’étape q, l’erreur est multipliée par d
q = D’une
étape à l’autre l’erreur se propage et peut conduire à l’explosion de l’algorithme.
1.2 Convergence et stabilité
Les méthodes numériques utilisées pour résoudre un problème approché
conduisent à un résultat qui est toujours entaché d’erreur. Cette erreur doit
être su!samment petite pour que la solution numérique converge vers la
solution réelle. Dans ce cas l’algorithme (ou la méthode) est dit convergent.
Si un raisonnement mathématique permet de montrer qu’une méthode diverge, elle ne pourra en aucun cas être utilisée sur un calculateur. En revanche, si la méthode converge il se peut qu’en pratique elle diverge.
La vitesse de convergence est un facteur important de la qualité des algorithmes. Si la vitesse de convergence est élevée, l’algorithme converge
rapidement et le temps de calcul est moindre. Ces préoccupations de rapidité de convergence ont conduit à diversifier les modes de convergence et à
chercher des processus optimaux.
La stabilité garantit que les erreurs ne s’amplifient pas au cours du déroulement de l’algorithme et que la méthode reste stable. À côté de cette
stabilité numérique, il y a aussi la stabilité des solutions qui intervient dans
les problèmes équationnels et qui est bien mise en évidence par les techniques perturbatives. Lorqu’un problème (S ) admet une solution, il est
intéressant d’envisager le problème perturbé, noté (S % ), où % est un petit
paramètre et de se demander si les solutions du système perturbé sont voisines de la solution du système non perturbé. Il n’existe pas de théorème
général qui réponde à cette question.
Donnons quelques définitions. Soit x : L $ U une fonction à valeurs réelles
définie sur un intervalle L =[ d> e] et une subdivision d = { 0 ?{ 1 ?{ 2 ===