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Convergence et stabilité
?{ q = e.O nn o t ek l = { l { l1 et k est la plus grande valeur des pas de
la subdivision k = sup
l
(k l )= On suppose que la fonction x est dotée d’une
réalisation numérique (méthode, processus ou schéma de discrétisation) qui
s’exprime sous la forme
x l+1 = !(k 1 >===>k l >x 1 > ===x l )
On appelle erreur de consistance relative à la fonction x({) la quantité
h l = x({ l ) x l et erreur globale l’expression
h =s u p
0lq
|x({ l ) x l |
On dit que la méthode converge si l’erreur globale tend vers 0 lorsque le
pas de la subdivision k tend vers 0.
La méthode est dite consistante si la somme
q
P
l=0
|h l | des erreurs de consistance relatives à la fonction x tend vers 0 quand k tend vers 0.
La méthode est d’ordre p si la limite
lim
q$4
|h q+1 |
|h q |
s
existe quand q tend vers l’infini. On dit que l’erreur de consistance est en
k
s
,e to nn o t e
h l = R(k
s ) ; l =0> ===> q
La méthode est stable si pour toutes suites voisines x l+1 et y l+1 vérifiant
x l+1 = !(k 1 >===>k l >x 1 > ===x l )
y l+1 = !(k 1 > ===> k l >y 1 > ===y l )+% l
il existe une constante V appelée constante de stabilité satisfaisant l’inégalité
sup
0lq
|y l x l | V
q
X
l=0
|h l |
On démontre que tout processus stable et consistant converge.
En eet, la méthode est stable, donc pour les suites x l+1 et y l+1 = x({ l+1 ),
on a
sup
0lq
|y l x l | V
q
X
l=0
|h l |
La méthode étant consistante, le membre de droite tend vers 0 lorsque k
tend vers 0.