18
Erreurs et précision
nombre quelconque compris entre 0 et 1, la machine écrira par exemple
{ =0>d 1 d 2 d 3 ===d q
Lors de la manipulation de ces nombres, la machine devra choisir entre la
troncature ou l’arrondi à la décimale la plus proche. Pour eectuer l’addition des nombres { =0 > 1234 et | =0 > 5678 avec seulement trois chires
significatifs, on obtiendra soit 0,690 lorsque | est approché par 0,567 soit
0,691 lorsque | est approché par 0,568. On comprend comment, à plus
grande échelle, ces erreurs peuvent induire des problèmes de précision.
Les erreurs de troncature sont liées à la précision de l’algorithme utilisé.
Elles peuvent être contrôlées par l’algorithme lui-même. Si une fonction
est approchée par son développement de Taylor, l’erreur de troncature sera
obtenue par une évaluation du reste du développement. Son contrôle sera
obtenu par une majoration de ce reste. Au voisinage d’un point d,s iu n e
fonction i admet un développement de Taylor de la forme
i ({)=i (d)+==== +
({ d)
q1
(q 1)!
i
(q1) ({)+
Z {
d
({ w)
q1
(q 1)!
i
(q) (w)gw
et si la dérivée q-ième de i est majorée par une constante P ,l er e s t es e r a
majoré par
¯
¯
¯
¯
Z {
d
({ w)
q1
(q 1)!
i
(q) (w)gw
¯
¯
¯
¯ P
|{ d|
q
q!
Les erreurs de méthode se produisent lorsqu’une expression est mal équilibrée et mélange des valeurs dont la diérence est importante. C’est un
problème de calibration numérique qui est sensible aux erreurs d’arrondi.
Dans la plupart des cas, l’algorithme doit être modifié. Considérons l’équation du second degré
10
8 {
2 0> 8{ +10
8 =0
Cette équation admet deux racines u 1 ' 0> 8=10
8
et u 2 ' 1> 25=10
8
.Sionne
s’intéresse qu’à la plus petite racine, certains calculateurs et en particulier
les calculatrices de poche donnent des valeurs erronées. Cela provient du
fait que lors du calcul du discriminant la soustraction =0> 64 4=10
16
n’est pas toujours correctement eectuée car le terme 4=10
16
est négligé
devant 0> 64. Pour obtenir une valeur exacte on doit modifier l’algorithme
en proposant par exemple de calculer la racine u 2 par la relation donnant le
produit des racines u 2 =1 @u 1 . Remarquons que si on multiplie l’équation
par 10
8
le problème reste entier.
Dans les processus récurrents ou itératifs, les erreurs s’ajoutent, ce qui a
pour eet d’amplifier l’erreur globale et de diminuer la précision du calcul.
Erreurs et précision
nombre quelconque compris entre 0 et 1, la machine écrira par exemple
{ =0>d 1 d 2 d 3 ===d q
Lors de la manipulation de ces nombres, la machine devra choisir entre la
troncature ou l’arrondi à la décimale la plus proche. Pour eectuer l’addition des nombres { =0 > 1234 et | =0 > 5678 avec seulement trois chires
significatifs, on obtiendra soit 0,690 lorsque | est approché par 0,567 soit
0,691 lorsque | est approché par 0,568. On comprend comment, à plus
grande échelle, ces erreurs peuvent induire des problèmes de précision.
Les erreurs de troncature sont liées à la précision de l’algorithme utilisé.
Elles peuvent être contrôlées par l’algorithme lui-même. Si une fonction
est approchée par son développement de Taylor, l’erreur de troncature sera
obtenue par une évaluation du reste du développement. Son contrôle sera
obtenu par une majoration de ce reste. Au voisinage d’un point d,s iu n e
fonction i admet un développement de Taylor de la forme
i ({)=i (d)+==== +
({ d)
q1
(q 1)!
i
(q1) ({)+
Z {
d
({ w)
q1
(q 1)!
i
(q) (w)gw
et si la dérivée q-ième de i est majorée par une constante P ,l er e s t es e r a
majoré par
¯
¯
¯
¯
Z {
d
({ w)
q1
(q 1)!
i
(q) (w)gw
¯
¯
¯
¯ P
|{ d|
q
q!
Les erreurs de méthode se produisent lorsqu’une expression est mal équilibrée et mélange des valeurs dont la diérence est importante. C’est un
problème de calibration numérique qui est sensible aux erreurs d’arrondi.
Dans la plupart des cas, l’algorithme doit être modifié. Considérons l’équation du second degré
10
8 {
2 0> 8{ +10
8 =0
Cette équation admet deux racines u 1 ' 0> 8=10
8
et u 2 ' 1> 25=10
8
.Sionne
s’intéresse qu’à la plus petite racine, certains calculateurs et en particulier
les calculatrices de poche donnent des valeurs erronées. Cela provient du
fait que lors du calcul du discriminant la soustraction =0> 64 4=10
16
n’est pas toujours correctement eectuée car le terme 4=10
16
est négligé
devant 0> 64. Pour obtenir une valeur exacte on doit modifier l’algorithme
en proposant par exemple de calculer la racine u 2 par la relation donnant le
produit des racines u 2 =1 @u 1 . Remarquons que si on multiplie l’équation
par 10
8
le problème reste entier.
Dans les processus récurrents ou itératifs, les erreurs s’ajoutent, ce qui a
pour eet d’amplifier l’erreur globale et de diminuer la précision du calcul.