202
Exercices
soit
2(cos(2p@L)+cos(2q@M) 2)ˆ x p>q = k
2 b
i p>q
lorsque la discrétisation porte sur { 0 > ===> { L et | 0 >===>| M . La méthode consiste
à calculer b
i p>q par
b
i p>q =
L1
X
o=0
M1 X
n=0
h
2lpo@L h
2lqn@M i o>n
puis ˆ
x p>q par l’équation discrétisée
ˆ
x p>q =
k
2 b
i p>q
2(cos(2p@L)+cos(2q@M) 2)
enfin, on trouve x l>m par la formule d’inversion
x o>n =
1
LM
L1
X
p=0
M1 X
q=0
h
2lop@L h
2lqn@M ˆ
x p>q
9.8 Exercices
1. On considère l’équation de Laplace
C
2 x
C{ 2 +
C
2 x
C| 2 =0
sur un domaine délimité par les droites d’équations { =0 , { =4 ,
| =0et | =5. On suppose que, sur la frontière, la fonction vaut
x({> |)=5({
2 2) + |
2
Écrire pour diérents schémas de discrétisation le système à résoudre.
On supposera que le maillage est uniforme et de pas k =1,enabscisse
comme en ordonnée.
2. En utilisant le développement de Taylor, calculer l’ordre de la méthode de Liebmann pour l’équation de Laplace bidimensionnelle.