9. Équations elliptiques
201
est discrétisée selon l’expression
x l+1>m 2x l>m + x l1>m
({) 2
+
x l>m+1 2x l>m + x l>m1
(|) 2
= i l>m
ainsi que les conditions limites. Lorsque la discrétisation est la même en {
et en |, k = { = |> la discrétisation s’écrit plus simplement
x l+1>m + x l1>m + x l>m+1 + x l>m1 4x l>m = k
2 i l>m
On obtient alors un système d’équations où les inconnues sont les valeurs
x l>m de la fonction x en chacun des nœuds du maillage de discrétisation.
On résout ce système par une méthode matricielle. La méthode est appelée
méthode de Liebmann lorsque la résolution se fait par la méthode de GaussSeidel, et méthode de Richardson lorsque la résolution du système se fait
par la méthode de Jacobi.
9.6 Méthodes de relaxation
Dans les méthodes de relaxation, l’équation de Poisson
C
2 x
C{ 2 +
C
2 x
C| 2 = i
écrite sous la forme discrétisée habituelle conduit à un système linéaire qui
est résolu par une méthode de relaxation. À la n-ième itération, la méthode
revient à calculer
x
(n+1)
l>m
=(1 z)x
(n)
l>m + z
(n)
l>m
avec
(n)
l>m =
1
4
(i l>m k
2 x
(n)
l+1>m x
(n)
l1>m x
(n)
l>m+1 x
(n)
l>m1 )
9.7 Méthode par transformée de Fourier rapide
L’équation de Poisson
C
2 x
C{ 2 +
C
2 x
C| 2 = i
écrite sous la forme discrétisée
x l+1>m + x l1>m + x l>m+1 + x l>m1 4x l>m = k
2 i l>m
est modifiée par transformation de Fourier en
(h
2lp@L + h
2lp@L + h
2lq@M + h
2lq@M 4)ˆ x p>q = k
2 b
i p>q