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Équations elliptiques non linéaires
9.4 Équations elliptiques non linéaires
Les équations elliptiques non linéaires se classent en trois catégories. Les
équations semi-linéaires de la forme
x = i ({> x> ux)
les équations quasi linéaires de la forme
q
X
l>m=1
d lm ({> x> ux)C l C m x = i ({> x> ux)
et les équations complètement non linéaires de la forme
i ({> G
2 x)=0
Lorsque est un ouvert non vide, simplement connexe à frontière indéfiniment diérentiable et i une fonction F
4 (
× R) vérifiant Ci@Cx 0 et
x 0 une fonction de classe F
4 (C
)> alors le problème de Dirichlet
½
x = i ({> x) dans
x = x 0 sur C

admet une solution unique x 5 F
4 (
)= En général, pour les équations non
linéaires, on démontre des résultats de résolubilité locale. La régularité des
solutions, quand elles existent, font intervenir de nouveaux espaces, comme
par exemple les espaces de Zygmund.
Soit un ouvert de R
q
et 1 ?s?(q +2)@(q 2), on considère le problème
non linéaire suivant
½
x + |x|
s1 x = i dans
x =0 sur C

dans lequel est un réel positif et i une fonction de O
t
où t est le conjugué
de s (1@s +1 @t =1 ). L’existence des solutions consiste à minimiser la
fonctionnelle d’énergie H(x) définie sur x 5 K
1
0 (
)
H(x)=
1
2
Z
|ux|
2 +
s +1
Z
|x|
s+1
Z
ix
Le problème admet une infinité de solutions, car on démontre que la fonctionnelle d’énergie, qui n’est pas bornée inférieurement, possède une infinité
de points critiques.
9.5 Méthode de Richardson-Liebmann
Dans cette méthode, l’équation de Poisson
C
2 x
C{ 2 +
C
2 x
C| 2 = i