9. Équations elliptiques
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On peut supposer que la matrice d lm est une matrice symétrique, car C lm x =
C ml x. Nous supposons en outre que cette matrice vérifie la condition de
coercivité (ou d’ellipticité stricte), c’est-à-dire qu’il existe une constante
A0 telle que pour tout point 5
q
X
l>m=1
d lm ({) m l ||
2
Si la fonction i 5 K
n1 (
) pour n =0 > 1> 2>... une solution x de K
1
0 (
)
appartient à K
n (
) et on a pour tout x 5 K
n+1 (
) _ K
1
0 (
)
kxk
2
K n+1 f 1 kOxk
2
K n1 + f 2 kxk
2
K n
On démontre que si l’ouvert est borné et de classe F
1>1
(c’est-à-dire
que le bord est une fonction de classe F
1 (
), dont la dérivée première est
höldérienne d’ordre 1 au voisinage de tout point de
), si les coe!cients
d lm sont dans F(
)> si e et f sont O
4 (
)> si f 0 et si la condition de
coercivité est satisfaite alors pour i 5 O
s
(
)> il existe une unique fonction
x 5 Z
2>s (
) _ Z
1>s (
) avec 1 ?s?4 solution du problème de Dirichlet
½
Ox = i dans
x =0 sur C

De plus, cette solution vérifie l’estimation
kxk z 2>s (
) F ki k O s (
)
En particulier, si sAq @ 2 et si x 0 5 F(
)> alors il existe une solution
unique x 5 F(
) _ Z
2>s
orf (
) au problème de Dirichlet
½
Ox = i dans
x = x 0 sur C

On démontre aussi plusieurs résultats concernant la borne supérieure essentielle de x.L eprincipe du maximum faible a!rme que pour un ouvert
borné connexe, une matrice d lm vérifiant la condition de coercivité, des
coe!cients d lm , e l et une fonction f dans F(
),s ix 5 F(
) _ F
2 (
)> et
si l’opérateur O vérifie Ox 0 sur
, alors la fonction x atteint sa borne
supérieure sur le bord de
sup
{5

x({)= sup
{5C

x({)
Le principe du maximum fort a!rme que sous les mêmes conditions ou
bien x est constant ou bien
x({) ? sup
|5C

x(|)
;{ 5
En particulier, si x atteint un maximum positif ou nul sur l’intérieur de
,
alors la fonction x est constante sur
.