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Équations elliptiques linéaires
Pour le problème de Neumann sur un ouvert de R
q
( x = i dans
Cx
Cq
= x 1 sur C

on démontre plusieurs théorèmes de régularité. En particulier, si est un
ouvert borné de classe F
p+2
,( p 0)e ts ii est une fonction de K
p (
)
et x 1 une fonction de K
p+1@2 (
)> alors la solution x est une fonction de
K
p+2 (
).
Exemple. On peut vérifier sur un cas simple que les solutions du problème de
Dirichlet sont de classe F
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dès que les conditions initiales sont continues.
S u rl ed i s q u ed er a y o nU
= {(u> ): 0 u U}
le problème de Dirichlet
½
x =0
dans
x = i () sur u = U
admet une solution unique de la forme
x(u> )=
1
2
Z 2
0
i ( )S (u> )g
= i J(u)
où S (u> ) est le noyau de Poisson et J la fonction de Green J(u)=
S (u> )@2
S (u> )=
U
2 u
2
U 2 + u 2 2Uu cos()
Plus généralement, l’opérateur elliptique linéaire du second ordre
Ox = gly(D({)ux({)) + gly(ex({)) + f({)x({)=0
qui s’écrit encore
Ox =
q
X
l>m=1
d lm ({)C lm x({)+
q
X
l=1
e l ({)C l x({)+f({)x({)=0
où d lm est une matrice q × q, e =(e l ) un vecteur de R
q
et f une fonction,
vérifie l’équation suivante sur un ouvert de R
q
Ox = i