9. Équations elliptiques
197
Au plan formel (i.e. sans se préoccuper des conditions de convergence), les
solutions de l’équation de Poisson x = i sont de la forme x = H i ,s o i t
x({)=
Z
C

H({> |)i (|)g(|)
où g est une mesure sur la sphère unité de R
q
. Ce résultat se généralise
aussi au cas des opérateurs métaharmoniques. Par exemple, l’opérateur
biharmonique
2 x = x> qui intervient dans la vibration d’une plaque,
admet une solution fondamentale sur R
2
de la forme
H({> |)=
|| {|
2
8
ln || {|
En coordonnées polaires, le laplacien s’écrit sous la forme
=
C
2
Cu 2 +
q
u
C
Cu
+
1
u 2 V
où V est l’opérateur de Laplace sur la sphère unité. L’opérateur V
admet des valeurs propres
n = n(n + q 1)
n =0> 1> 2===
auxquelles sont associés les espaces propres H n de dimension
dim H n =
2n + q 1
q 1
µ
n + q 2
n
¶
9.3 Équations elliptiques linéaires
Pour le problème de Dirichlet sur un ouvert de R
q
½
x = i dans
x =0 sur C

on démontre que si estunouv ertbornéetsii est une fonction de O
s (
)
avec 0 ?s?1, alors il existe une unique solution x 5 Z
2>s (
) _ Z
1>s
0 (
)
qui vérifie l’estimation
kxk Z 2>s (
) F ki k O s (
)
De plus, on a la propriété de régularité suivante : si est un ouvert borné
de classe F
p+1
,( p 0)e ts ii est une fonction de K
p1 (
)> alors la
solution x est une fonction de K
p+1 (
). Lorsque la condition sur le bord
est de la forme x = x 0 , il faut ajouter des conditions sur la fonction x 0 .L e
même résultat est valable si on suppose que x 0 5 K
p+1@2 (
)=