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Fonctions harmoniques. Principe du maximum
9.1 Fonctions harmoniques. Principe du maximum
Les fonctions harmoniques sur un ouvert de R
q
sont des fonctions
dont le laplacien est nul x =0 = Elles vérifient le principe du maximum
qui a!rme que si une fonction réelle x est harmonique dans un ouvert de
de R
q
et continue sur le bord C
,a l o r sx n’a ni maximum local strict ni
minimum local strict dans
= Autrement dit, les valeurs de x dans sont
comprises entre l’inf et le sup des valeurs de x prises sur le bord C
=
inf
|5C

x(|) ?x({) ? sup
|5C

x(|)
Les fonctions harmoniques de R
q {0} sont des fonctions centrales qui ne
dépendent que de la norme de {. On démontre que ces fonctions sont de
classe F
4 (
) et analytiques sur
=
9.2 L’opérateur de Laplace
Au sens des distributions, l’équation de Laplace sur un domaine de R
q
x =
admet une solution fondamentale qui est donnée par les formules
H({> |)=
;
A ?
A =
1
(q 2)v q
|{ ||
2q
pour q 3
1
2
ln
1
|{ ||
pour q =2
où |{| =
¡P ¯
¯ {
2
l
¯
¯
¢ 1@2 désigne la norme euclidienne de R
q
et v q est la surface
de la sphère unité
v q =
2
q@2
(q@2)
Ce résultat se généralise à un opérateur elliptique de la forme
Ox =
q
X
l>m=1
C
C{ m
µ
d lm ({)
Cx
C{ l
¶
La solution fondamentale pour q 3 est
H({> |)=
1
(q 2)v q
g({> |)
2q
où g est une distance. Si les d lm sont des constantes, alors
g({> |)=det(d lm )
(q2)@2
3
C
q
X
l>m=1
1
d lm
({ l | l )({ m | m )
4
D
1@2