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Équations elliptiques
Lorsque le problème est bien posé, la solution d’une équation elliptique
dépend entièrement des conditions limites. Ce comportement est typique
des équations elliptiques et paraboliques. On dit que l’opérateur elliptique
est régularisant : une donnée continue bornée conduit à une solution de
classe F
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. Nous prendrons l’équation de Poisson (ou l’équation de Laplace
si i =0) comme prototype des équations elliptiques linéaires homogènes
x = i
avec
=
C
2
C{ 2
1
+ ==== +
C
2
C{ 2
q
Pour l’équation de Laplace, le problème de Dirichlet ou le problème de
Dirichlet-Neumann est bien posé. En revanche, le problème de Neumann est
un problème mal posé (q 1), comme on le vérifie facilement pour q =1.
L’équation x
00 ({)=0sur l’intervalle [d> e] dotée des conditions limites
x
0 (d)=x 0 et x
0 (e)=y 0 conduit à une solution de la forme x
00 ({)={ +
qui, ou bien n’a pas de solution si x 0 6 = y 0 , ou bien admet une infinité de
solutions si x 0 = y 0 . On démontre que les problèmes sont bien posés à l’aide
du principe du maximum. Ce résultat permet aussi de démontrer un grand
nombre de résultats sur l’existence, l’unicité et la régularité des solutions
des problèmes elliptiques.