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Exercices
Montrer que x 5 Y est solution des équations
d(x> y)=O(y)
;y 5 Y
si et seulement si
M(x)= inf
y5Y
M(y)
4) Déterminer la fonction x qui minimise sur Y l’expression
K(y)=
Z 1
0
(
1
2
{y
2 ({) {({ +1)({ 3)y({)h
{ +
1
2
(y
0 ({))
2 )g{
5) Soit q un entier naturel non nul, on pose k =1 @(q +1) et on
définit une subdivision de l’intervalle [0> 1] aux nœuds { l = lk avec
0 l q +1.O np o s ef l = f({ l ), x l = x({ l ) et i l = i ({ l ).É c r i r el e
système d’équations obtenu si on approche x”({ l ) par le schéma
x”({ l ) '
x l+1 2x l + x l1
({) 2
6) On suppose que f n ¿
2
k 2 pour tout n =1 >===>q et on admet que
la matrice
D k =
1
k 2
3
E
E
E
E
E
E
E
C
2
1
0
···
0
12
. . .
. . .
. . .
0
. . .
. . .
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . . 1
0
···
0
12
4
F
F
F
F
F
F
F
D
a comme valeurs propres les nombres
n =
4
k 2 sin
2
µ n
2(q +1)
¶
Calculer le nombre de conditionnement de cette matrice. Que peut-on
dire si q est grand ?
7) On suppose que f = $
2
où $ est une constante A 0 et que i =0.
On considère le schéma de Newmark suivant
x l+1 2x l + x l1
({) 2
+ $
2 (x l+1 +(1 2)x l + x l1 )=0
où est un paramètre. Étudier directement la stabilité du schéma.
Quelle valeur de préconisez-vous ?
Indication : On utilisera sans démonstration (question 2 de l’exercice
1 et question 7 du problème) le résultat suivant : Les conditions pour
que les racines de l’équation
2 V+S =0soient de module inférieur
ou égal à 1 sont S 1 si 0 et 1+V + S 0 si A 0=