8. Équations aux dérivées partielles
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8.11 Exercices
1. On considère l’équation suivante
g
2 x
g{ 2 + e
gx
g{
= e
sur l’intervalle ]0> 1[ et les conditions limites x(0) = x(1) = 0. L’espace
d’approximation est l’espace de Hilbert Y défini par
Y = {y 5 K
1
0 (0> 1) : y(0) = y(1)}
Mettre le problème sous forme variationnelle et montrer que ce problème admet une solution unique sur Y .
2. Fléchissement d’une poutre. Étant donné deux fonctions f et i continues sur l’intervalle [0> 1],l af o n c t i o nf({) étant positive ou nulle sur
cet intervalle, on considère le problème du fléchissement d’une poutre
soumise à une force i sous la forme
½
x”({)+f({)x({)=i ({)0 ?{?1
x(0) = x(1) = 0
On suppose la solution x deux fois continûment dérivable sur [0> 1].On
note Y l’espace de Sobolev K
1
0 ([0> 1])> c’est-à-dire l’espace des fonctions continues sur [0> 1], nulles aux bornes de cet intervalle et continûment dérivables par morceaux. L’espace Y est muni de la norme
kyk =
µZ 1
0
(|y
0 ({)|
2 + |y({)|
2 )g{
¶1@2
On note
d(x> y)=
Z 1
0
(x
0 ({)y
0 ({)+f({)x({)y({))g{
la forme bilinéaire Y × Y dans U et O la forme linéaire de Y dans U
O(y)=
Z 1
0
i ({)y({)g{
1) Écrire la formulation variationnelle du problème de Dirichlet.
2) Montrer qu’il existe un nombre A0 tel que
kyk
2 d(y> y)
;y 5 Y
En déduire que le problème variationnel admet une solution unique.
3) On note
M(y)=
1
2
d(y> y) O(y)