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Convergence et stabilité
Pour les problèmes linéaires bien posés, le t h é o r è m ed eL a xa!rme l’équivalence des notions de convergence et de stabilité. Il a!rme que pour qu’un
schéma numérique d’un problème linéaire bien posé converge il faut et il
su!t que ce schéma soit stable et consistant.
Exemple 1. Schéma implicite. Considérons l’équation de la chaleur
Cx
Cw
C
2 x
C{ 2 =0
et le schéma implicite
x l>m+1 x l>m
w
x l+1>m+1 2x l>m+1 + x l1>m+1
({) 2
=0
Par transformée de Fourier,
ˆ
x l>m+1 ˆ
x l>m
w
({) 2 [h
lz{ ˆ
x l>m+1 2ˆ x l>m+1 + h
lz{ ˆ
x l>m+1 ]=0
soit
ˆ
x l>m+1 (z)=V(z)ˆ x l>m (z)
avec
V(z)=
1
1+4
w
({) 2 sin
2 (z
{
2 )
Comme sup
z
|V(z)| 1> le schéma est universellement stable.
Exemple 2. Schéma de Richardson. Considérons l’équation de la chaleur et
le schéma de discrétisation
x l>m+1 x l>m1
2w
x l+1>m 2x l>m + x l1>m
({) 2
=0
Par transformée de Fourier
ˆ
x l>m+1 ˆ
x l>m1 +8
w
({) 2 sin
2
µ
z
{
2
¶
ˆ
x l>m =0
Soit, en posant y l>m+1 = x l>m et d = 8
w
({) 2 sin
2
µ
z
{
2
¶
µ
ˆ
x l>m+1
ˆ
y l>m+1
¶
=
µ
d 1
10
¶µ
ˆ
x l>m
ˆ
y l>m
¶
Les valeurs propres de la matrice sont (d ±
s
4+d 2 )@2> d’où le rayon
spectral
(V)=
d +
s
4+d 2
2
Comme (V) A 1, le schéma est toujours instable.