8. Équations aux dérivées partielles
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soit
ˆ
x q+1 = V(z)ˆ x q
où ˆ
x q est la transformée de Fourier
ˆ
x q (z)=
Z +4
4
x q ({)h
lz{ g{
On vérifie que la transformée de Fourier de x l+n>m satisfait
ˆ
x l+n>m (z)=h
lnz{ =ˆ x l>m (z)
En eet,
ˆ
x l+n>m (z)=
Z +4
4
x({ l + n{> w m )h
lz{ g{ l
Par le changement de variable | l = { l + n{> on a
ˆ
x l+n>m (z)=h
lnz{ =
Z +4
4
x(| l >w m )h
lz| l g| l
= h
lnz{ =ˆ x l>m (z)
On démontre qu’un schéma est stable si et seulement si tous les éléments
de V
q
restent bornés quand q tend vers l’infini
kV
q k 1
Un schéma est dit stable au sens de Neumann si le rayon spectral de la
matrice d’amplification est borné par 1. On démontre que si la norme de la
matrice d’amplification est inférieure à 1 alors le schéma est stable et que
réciproquement, lorsque la matrice V est normale (VV
= V
V = V), on a
équivalence entre stabilité et condition de Neumann. Ce qui est toujours le
cas lorsque V est une fonction. On démontre aussi le même résultat lorsque
la matrice V s’écrit comme une somme V = D + lE où D est une matrice
symétrique et E une matrice antisymétrique (E
w = E). On démontre
encore les deux résultats suivants :
Si le déterminant de la matrice des vecteurs propres de la matrice d’amplification V(z) garde un signe constant pour tout z, alors le schéma est
stable si et seulement si le rayon spectral est inférieur à 1 : (V) 1.
Si tous les éléments de la matrice d’amplification V(z) sont bornés pour
tout z, et si toutes les valeurs propres de V, sauf peut-être une, sont strictement inférieures à 1, alors le schéma est stable si et seulement si le rayon
spectral est inférieur à 1 : (V) 1.