190
Convergence et stabilité
par addition, il vient
µ C
2 x
C{ 2
¶
l>m
=
x l+1>m 2x l>m + x l1>m
({) 2
{
2
12
µ C
4 x
C{ 4
¶
l>m
+ R({
4 )
L’erreur de consistance est donc
h k =
w
2
C
2 x
Cw 2
{
2
12
C
4 x
C{ 4 + R(w
2 )+R({
4 )
Le schéma est d’ordre 2 en temps, d’ordre 4 en espace et est consistant
puisque l’erreur de consistance tend vers zéro lorsque w et { tendent
vers zéro. En revanche, si nous écrivons une discrétisation de la dérivée en
{ à l’instant w m au lieu de l’écrire à l’instant w m+1 , on obtient le schéma
suivant
x l>m+1 x l>m
w
x l+1>m+1 2x l>m+1 + x l1>m+1
({) 2
=0
Si les éléments discrétisés sont connus jusqu’à l’instant m,o nn ep e u tp a s
calculer x l>m+1 par l’expression du schéma de discrétisation, car x l+1>m+1 et
x l1>m+1 sont inconnus. Le schéma donne implicitement x l>m+1 à l’instant
(m +1).I ls u !td ’ é c r i r et o u t e sl e sé q u a t i o n se td er é s o u d r el es y s t è m e .L e
schéma est dit implicte.
8.10 Convergence et stabilité
Un schéma de discrétisation est convergent si la solution numérique x l>m
tend vers la solution exacte x({ l >w m ) lorsque les pas de discrétisation tendent
vers zéro. Le schéma est conditionnellement convergent s’il converge pour
une condition donnée. Soit K un espace vectoriel normé, D un opérateur
de K.O nn o t ex q+1 = Dx q un schéma numérique. On dit que ce schéma
est stable s’il existe une constante N indépendante de q telle que
kD
q k N
Le schéma est dit universellement stable ou inconditionnellement stable si
le schéma est toujours stable, c’est-à-dire si N est bornée quels que soient
les pas de discrétisation et conditionnellement stable si N est bornée pour
certaines valeurs des pas de discrétisation. Autrement dit, un schéma est
stable si les erreurs ne s’amplifient pas au fur et à mesure que le calcul progresse. D’autre part, remarquons qu’il y a autant de définitions de stabilité
que de normes. En général, on parle de stabilité dans O
2
ou au sens de
Neumann. On appelle fonction ou matrice d’amplification,l af o n c t i o no u
la matrice V obtenue par transformée de Fourier de l’expression analytique
du schéma numérique
x q+1 = Dx q
Convergence et stabilité
par addition, il vient
µ C
2 x
C{ 2
¶
l>m
=
x l+1>m 2x l>m + x l1>m
({) 2
{
2
12
µ C
4 x
C{ 4
¶
l>m
+ R({
4 )
L’erreur de consistance est donc
h k =
w
2
C
2 x
Cw 2
{
2
12
C
4 x
C{ 4 + R(w
2 )+R({
4 )
Le schéma est d’ordre 2 en temps, d’ordre 4 en espace et est consistant
puisque l’erreur de consistance tend vers zéro lorsque w et { tendent
vers zéro. En revanche, si nous écrivons une discrétisation de la dérivée en
{ à l’instant w m au lieu de l’écrire à l’instant w m+1 , on obtient le schéma
suivant
x l>m+1 x l>m
w
x l+1>m+1 2x l>m+1 + x l1>m+1
({) 2
=0
Si les éléments discrétisés sont connus jusqu’à l’instant m,o nn ep e u tp a s
calculer x l>m+1 par l’expression du schéma de discrétisation, car x l+1>m+1 et
x l1>m+1 sont inconnus. Le schéma donne implicitement x l>m+1 à l’instant
(m +1).I ls u !td ’ é c r i r et o u t e sl e sé q u a t i o n se td er é s o u d r el es y s t è m e .L e
schéma est dit implicte.
8.10 Convergence et stabilité
Un schéma de discrétisation est convergent si la solution numérique x l>m
tend vers la solution exacte x({ l >w m ) lorsque les pas de discrétisation tendent
vers zéro. Le schéma est conditionnellement convergent s’il converge pour
une condition donnée. Soit K un espace vectoriel normé, D un opérateur
de K.O nn o t ex q+1 = Dx q un schéma numérique. On dit que ce schéma
est stable s’il existe une constante N indépendante de q telle que
kD
q k N
Le schéma est dit universellement stable ou inconditionnellement stable si
le schéma est toujours stable, c’est-à-dire si N est bornée quels que soient
les pas de discrétisation et conditionnellement stable si N est bornée pour
certaines valeurs des pas de discrétisation. Autrement dit, un schéma est
stable si les erreurs ne s’amplifient pas au fur et à mesure que le calcul progresse. D’autre part, remarquons qu’il y a autant de définitions de stabilité
que de normes. En général, on parle de stabilité dans O
2
ou au sens de
Neumann. On appelle fonction ou matrice d’amplification,l af o n c t i o no u
la matrice V obtenue par transformée de Fourier de l’expression analytique
du schéma numérique
x q+1 = Dx q