8. Équations aux dérivées partielles
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pour { réel et w positif. On construit une subdivision { 0 ?{ 1 ? === ? { q
avec { = k = { l { l1 > et w 0 ?w 1 ? === ? w q avec w = n = w l w l1 = On
note x lm une approximation de la solution exacte x({ l >w m ) et x m le vecteur
x m =(x 1m >x 2m > ===> x qm )= L’équation Ox({> w) discrétisée
D o x m+o + D o1 x m+o1 + ==== + D 0 x m =0
est appelée schéma de discrétisation à o niveaux en temps. Si D o est la matrice identité, le schéma est dit explicite.S i n o n ,i le s timplicite.L es c h é m a
est d’ordre s en temps et t en espace si l’erreur de consistance vérifie
h k = R(w
s )+R({
t )
Le schéma est consistant si l’erreur de consistance h k tend vers zéro lorsque
tous les pas de discrétisation tendent vers zéro.
Exemple. Considérons l’équation de la chaleur
Cx
Cw
C
2 x
C{ 2 =0
et le schéma de discrétisation
x l>m+1 x l>m
w
x l+1>m 2x l>m + x l1>m
({) 2
=0
Ce schéma est un schéma à deux niveaux en temps (m et m +1) explicite : si
x l1>m >x l>m et x l+1>m sont connus à l’instant m> on peut calculer explicitement
x l>m+1 à l’instant (m +1)= La quantité x l>m+1 est donnée par le schéma de
discrétisation. Pour calculer l’ordre du schéma, écrivons le développement
de Taylor
x l>m+1 = x l>m + w
µ Cx
Cw
¶
l>m
+
w
2
2
µ C
2 x
Cw 2
¶
l>m
+ R(w
3 )
de même
x l+1>m = x l>m + {
µ Cx
C{
¶
l>m
+
{
2
2
µ C
2 x
C{ 2
¶
l>m
+
{
3
6
µ C
3 x
C{ 3
¶
l>m
+
{
4
24
µ C
4 x
C{ 4
¶
l>m
+
{
5
120
µ C
5 x
C{ 5
¶
l>m
+ R({
6 )
de même
x l1>m = x l>m {
µ Cx
C{
¶
l>m
+
{
2
2
µ C
2 x
C{ 2
¶
l>m
{
3
6
µ C
3 x
C{ 3
¶
l>m
+
{
4
24
µ C
4 x
C{ 4
¶
l>m
{
5
120
µ C
5 x
C{ 5
¶
l>m
+ R({
6 )