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Schémas de discrétisation
Comme I est stationnaire en =0> on a I 0(0)=0pour tout z 5 Y= Par
conséquent,
Re(d(x> z) O(z)) = 0> ;z 5 Y
Soit z = + l> comme
Re(d(x> ) O()) + M(d(x> ) O()) = 0
on en déduit que
;z 5 Y> d(x> z)=O(z)
ce qui montre que le problème variationnel équivaut au problème de minimisation.
Quand on passe à la discrétisation du problème de Dirichlet, on considère
un sous-espace fermé Y k de Y ,d a n sl e q u e lo nc h e r c h el as o l u t i o nx k .E n
appliquant le théorème de Lax-Milgram, on voit que la solution du problème
discrétisé existe et est unique, et que le problème variationnel discrétisé
trouver x k 5 Y k tel que ;y k 5 Y k >d (x k >y k )=O(y k )
équivaut au problème de minimisation discrétisé
trouver x k 5 Y k tel que M(x k )= inf
y5Y k
M(y)
avec
M(y)=
1
2
d(y> y) O(y)
8.9 Schémas de discrétisation
Soit un domaine de R
q
, on considère l’opérateur diérentiel O et l’équation
Ox({> w)=i sur
On découpe le domaine en cellules élémentaires et on discrétise l’opérateur sur chaque cellule. L’expression ainsi obtenue O k est appelée schéma de
discrétisation. L’erreur de consistance (de troncature ou de discrétisation)
est la diérence entre la valeur discrétisée et la valeur exacte
h k = O k x Ox
= x lm x({ l >w m )
Plus précisément, on considère l’équation
½
Ox({> w)=0
sur
x({> 0) = x 0 ({)
sur C