8. Équations aux dérivées partielles
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Soit d(x> y) une forme hermitienne (d(x> y)=d(y> x))etO une forme antilinéaire continue, le problème de minimisation énergétique consiste à trouver
x 5 Y tel que
M(x)= inf
y5Y
M(y)
avec
M(y)=
1
2
d(x> y) Re O(y)
Le problème de minimisation énergétique équivaut à déterminer les fonctions x telles que
M(x) M(y)> ;y 5 Y
avec égalité si et seulement si x = y.
On démontre que le problème variationnel équivaut au problème de minimisation.
En eet, si x est solution du problème variationnel, d(x> x)=O(x).P a r
conséquent,
M(x)=
1
2
d(x> x) O(x)=
1
2
d(x> x)
D’où la diérence
M(y) M(x)=
1
2
d(y> y) O(y)+
1
2
d(x> x)
=
1
2
d(y> y) d(x> y)+
1
2
d(x> x)
=
1
2
[d(y> y) d(x> y) d(y> x)+d(x> x)]
=
1
2
d(y x> y x) 0
avec égalité si et seulement si x = y. Par conséquent, x est solution du
problème énergétique. Inversement, supposons que x soit une solution du
problème de minimisation. Soit z un élément de Y et un nombre réel.
Considérons la fonction
I ()=2M(x + z)
Comme
M(x + z) M(x)=d(x + z> x + z) 2ReO(x + z)
d(x> x)+2ReO(x)
= (d(z> x)+d(x> z)) +
2 d(z> z) 2 Re O(z)
la dérivée
I
0 (0) = lim
$0
I () I (0)
=2 R e ( d(x> z) O(z))