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Problèmes équivalents
où v est l’abscisse curviligne sur le bord du domaine et l’angle entre la
normale extérieure $ q au domaine et le repère normé. La formule de Stokes
conduit donc à l’expression
Z
yxg { g |=
Z
$
ux=
$
uyg { g |+
Z
C

y $ q=
$
uxg v
en posant
Cx
Cq
= $ q=
$
ux =
Cx
C{
cos()+
Cx
C|
sin()
La formulation variationnelle s’écrit
Z
x=yg{g| +
Z
$
ux=
$
uyg { g |+
Z
C

y
Cx
Cq
gv =
Z
yig{g|
Exemple 3. Écrire une formulation variationnelle sur l’intervalle [0,1], du
système équationnel
;
A A A ?
A A A =
g
g{
(s({)
gx
g{
)=i ({) si { 5 [0> 1]
x({)=d
si { =0
x
0 ({)=e
si { =1
L’introduction d’une fonction test
Z 1
0
g
g{
(s({)
gx
g{
)y({)g{+
Z 1
0
i ({)y({)g{+y(0)(x(0)d)+y(1)(x(1)e)=0
donne par intégration par parties
Z 1
0
i ({)x
0 ({)y
0 ({)g{
Z 1
0
i ({)y({)g{
= y(0)(x(0) d s(0)x
0 (0)) + y(1)(x(1) e s(1)x
0 (1))
Exemple 4. Écrire une formulation du problème suivant : Soit un domaine
de R
q
et C
son bord. On considère les opérateurs diérentiels L et B> et
le problème suivant : trouver x vérifiant
½
Lx = i sur
Bx = j sur C

On note A l’opérateur tel que CA = L= La formulation variationnelle forte
s’écrit
Z
(Lx + i )yg{ +
Z
C

(Bx + j)yg{ =0
On obtient une formulation faible par application de la formule de Stokes.