8. Équations aux dérivées partielles
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est une forme sesquilinéaire continue, coercive sur Y> c’est-à-dire vérifiant
la majoration suivante
; x> y 5 Y> |d(x> y)| P kxk = kyk
et la minoration de sa partie réelle
; y 5 Y> Re[d(x> y)] kxk
2
et si O(y) est une forme antilinéaire continue sur Y> alors le problème variationnel qui consiste à trouver x 5 Y> tel que
d(x> y)=O(y)
admet une solution unique.
D’un point de vue pratique, pour déterminer l’écriture variationnelle d’une
équation, on multiplie cette équation, en tenant compte des conditions limites initiales, par une fonction de test et on intègre. On procède ensuite à
une intégration par parties (ou à une application de la formule de Stokes)
de façon à diminuer le degré de diérentiation de la fonction x.
Exemple 1. Écrire la formulation variationnelle de l’équation
g
4 x
g{ 4 = i ({)
pour { 5 [d> e]= La formulation forte conduit à écrire
Z e
d
y({)
g
4 x
g{ 4 g{ =
Z e
d
y({)i ({)g{
En intégrant deux fois par parties, on obtient
Z e
d
y({)i ({)g{ =
y({)
g
3 x
g{ 3
¸ e
d
gy
g{
g
2 x
g{ 2
¸ e
d
+
Z e
d
g
2 x
g{ 2
g
2 y
g{ 2 g{
Exemple 2. Écrire une formulation variationnelle sur un domaine de R
2
de l’équation
(
C
2 x
C{ 2 +
C
2 x
C| 2 )+x({> |)=i ({> |)
En utilisant la formule de Stokes (Green-Riemann), on a
Z
C
C{
(y
Cx
C{
)g{g| =
Z
(y
C
2 x
C{ 2 +
Cx
C{
Cy
C{
)g{g| =
Z
C

y
Cx
C{
cos()gv
et
Z
C
C|
(y
Cx
C|
)g{g| =
Z
(y
C
2 x
C| 2 +
Cx
C|
Cy
C|
)g{g| =
Z
C

y
Cx
C|
sin()gv